三、内容提要

（一）随机试验、样本空间与随机事件

1. 随机试验：具有以下3个特点的试验称为随机试验，记为E．

（1）试验可在相同的条件下重复进行；

（2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；

（3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现．

2. 样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为ω．

3. 随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集．必然事件记为Ω，不可能事件记为φ．

（二）事件的关系

1. 包含：A⊂B，读作“事件B包含A”或“A包含于B”，表示每当A发生时，必导致B发生．

2. 相等：A=B，读作“事件A等于B”或“A与B等价”，表示A与B或都发生，或都不发生．

3. 相容：若AB≠φ，则称事件“A和B相容”；若AB=φ，则称“事件A与B不相容”；

4. 对立事件：称事件A和B互为对立事件，即满足A+B=Ω且AB=φ，即

（三）事件的运算

1. 和事件（并）：A∪B或A+B，表示事件“A与B至少有一个发生”，称作事件A与B的和或并；一般地，

表示事件“A1，A2，…，An，…至少有一个发生”．

2. 积事件（交）：AB或A∩B，表示事件“A与B都发生”，称作A与B的交或积；一般地，

表示事件“A1，A2，…，An，…都发生”．

3. 差事件：A-B，表示事件“A发生但是B不发生”，称作A与B的差，或A减B．

4. 对立事件：称事件A和互为对立事件，若即表示A不发生．

5. 文氏图：事件的关系和运算可以用所谓文氏图形象地表示出来（见图1-1，图中的矩形表示必然事件Ω）．

（四）事件的运算法则

对于任意事件A，B，C，A1，A2，…，An，…，有

1. 交换律　A+B=B+A，AB=BA．

2. 结合律　A+B+C=A+（B+C）=（A+B）+C；

ABC=A（BC）=（AB）C．

3. 分配律　A（B+C）=AB+AC；

A（A1+A2+…+An+…）=AA1+AA2+…+AAn+…．

4. 对偶律　

（五）排列组合

1. 加法原理

完成一件事有n类方法，只要选择任何一类中的一种方法，这件事就可以完成．若第一类方法有m1种，第二类方法有m2种，……，第n类方法有mn种，并且这m1+m2+…+mn种方法里，任何两种方法都不相同，则完成这件事就有m1+m2+…+mn种方法．

2. 乘法原理

若完成一件事有n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，……，第n步有mn种方法，并且完成这件事必须经过每一步，则完成这件事共有m1m2…mn种方法．

3. 允许重复排列

从n个不同元素中，有放回地逐一取出m个元素进行排列（简称为可重复排列），共有nm种不同的排列．

4. 不允许重复排列

从n个不同元素中，无放回地取出m个（m≤n）元素进行排列（简称为选排列），共有

种不同的排列．选排列的种数用（或）表示，即

特别地，当m=n时的排列（简称为全排列）共有

n·（n-1）（n-2）·…·3·2·1=n！

种．全排列的种数用An（或）表示，即并规定0！=1．

5. 一般组合

从n个不同元素中取出m个元素的组合（不考虑其先后顺序，简称为一般组合）共有

种．一般组合的组合种数用（或）表示，即

并且规定不难看出

6. 不同类元素的组合

从不同的k类元素中，取出m个元素．从第1类n1个不同元素中取出m1个，从第2类n2个不同的元素中取出m2个，……，从第k类nk个不同的元素中取出mk个，并且ni≥mi>0（i=1，2，…，k）（简称为不同类元素的组合），共有

种不同取法．

（六）概率的概念

1. 频率

若事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn（A），即

2. 统计概率

若频率具有稳定性，即随n的增大越靠近某个常数p，称p为事件A的概率．在实际问题中，当n很大时，取称之为（统计）概率．

3. 概率的公理化定义

设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P（A），如果满足

（1）非负性：0≤P（A）≤1；

（2）规范性：P（Ω）=1；

（3）可列可加性：设A1，A2，…是可列个互不相容事件，有则称P（A）为事件A的概率．

4. 古典概率

若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则（试验所对应的概率模型为古典概型）事件A发生的概率为

5. 几何概率

若试验基本结果数无限，随机点落在某区域G的概率与区域G的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与其位置及形状无关，则（试验所对应的概率模型为几何概型）“在区域Ω中随机地取一点落在区域G中”这一事件A发生的概率为

其中μ（G）为区域（或区间）G的度量（如长度、面积、体积等）．

（七）概率的基本性质

1. 规范性：0≤P（A）≤1（特别地P（Ω）=1，P（φ）=0）．

2. 有限可加性：对于任意有限个两两不相容事件A1，A2，…，An，即AiAj=φ（i≠j；i，j=1，2，…，n），有

P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）．

3. 单调不减性：若事件B⊃A，则P（B）≥P（A），且P（B-A）=P（B）-P（A）．

4. 互逆性：

5. 加法公式：对任意两事件A，B，有P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）．此性质可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形．

6. 可分性：对任意两事件A，B，有且

P（A+B）≤P（A）+P（B）．

（八）条件概率与乘法公式

1. 条件概率：设A，B是两个事件，即A，B∈Ω，且P（A）>0，则

称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

2. 乘法公式：设A，B∈Ω 且P（A） > 0，P（B） > 0，则

P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A|B）．

称为事件A，B的概率乘法公式．

（九）全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式

1. 完备事件组

设A1，A2，…，An，…为Ω中的一组事件，若

A1+A2+…+An+…=Ω，AiAj=φ（i≠j，i，j=1，2，…）．

换句话说，如果有限个或可数个事件A1，A2，…，An，…两两不相容，并且“所有事件的和”是必然事件，则称它们构成一个完备事件组．

2. 全概率公式

设A1，A2，…，An是Ω的一个完备事件组，且P（Ai）>0，i=1，2，…，n，则对任何事件B，有

称之为全概率公式．

3. 贝叶斯（Bayes）公式

设A1，A2，…，An是Ω的一个完备事件组，且P（Ai）>0，i=1，2，…，n，则对任何事件B，有

称之为贝叶斯公式或逆概率公式．

（十）事件的独立性和独立试验

1. 事件的独立性

若P（AB）=P（A）P（B），则称事件A和B独立；若事件A1，A2，…，An之中任意m（2≤m≤n）个事件的交的概率都等于各事件概率的乘积，则称事件A1，A2，…，An相互独立．

2. 事件的独立性的性质

若事件A1，A2，…，An相互独立，则其中

（1）任意m（2≤m≤n）个事件也相互独立；

（2）任意一个事件，与其余任意m（2≤m≤n）个事件运算仍相互独立；

（3）将任意m（2≤m≤n）个事件换成其对立事件后，所得n个事件仍相互独立．

3. 独立试验

如果分别与各试验E1，E2，…，En相联系的任意n个事件之间相互独立，则称试验E1，E2，…，En为相互独立的．

（1）独立重复试验：独立表示“与各试验相联系的事件之间相互独立”，“重复”表示“每个事件在各次试验中出现的概率不变”．

（2）伯努利试验：只计“成功”和“失败”两种对立结果的试验，称作伯努利试验．将一伯努利试验独立地重复做n次，称作n次（n重）伯努利试验，亦简称伯努利试验．伯努利试验的特点是：①只有两种对立的结果；②各次试验相互独立；③各次试验成功的概率相同．设每次试验中事件A发生的概率为p，则n重贝努里试验中事件A发生k次的概率为：

（十一）事件概率的计算

（1）直接计算：古典概型和几何概型的概率可直接计算．

（2）用频率估计概率：当n充分大时，用n次独立重复试验中事件A出现的频率，估计在每次试验中事件A的概率．

（3）概率的推算：利用概率的性质、基本公式和事件的独立性，由简单事件的概率推算较复杂事件的概率．

（4）利用概率分布：利用随机变量的概率分布，计算与随机变量相联系的事件的概率（见“第二章 随机变量及其分布”）．