1.3.3　非线性介质中的耦合波方程

这一部分主要讲述麦克斯韦方程组如何描述光场中新的频率部分的生成，以及各个不同频率成分如何经非线性过程实现彼此的耦合。麦克斯韦方程组以国际单位表述为

其中，E是电场强度；H是磁场强度；D是电位移矢量；B是磁感应强度；J是自由电流密度；ρ是自由电荷密度。因为研究对象为电介质材料，所以

一般认为非线性晶体材料为非铁磁性材料，则

其中，μ是材料的磁导率；μ0是真空磁导率。然后，可以考虑非线性偏振为

上式中ε0是真空介电常数，εr是材料相对介电常数。

对式（1.16）两边同时取旋度：

联立式（1.17）、式（1.18）、式（1.20）和式（1.22），可以得到如下方程：

利用式（1.22）及无源情况下的矢量变换定律（∇×（∇×E）=∇（∇·E）-∇2E），可以得到慢变近似下的非均匀光学波动方程：

其中，r表示光场传播位移；c表示真空光速；偏振矢量P通常表示线性和非线性叠加的部分：

电场E和功率P均可以表示为有限个平面波的集合：

其中，En是电场强度的空间慢变，ωn、kn分别表示平面波频率成分和波数，将式（1.25）～式（1.28）代入式（1.24），可以得到如下波动方程：

在二阶非线性过程中，只关注二阶非线性极化，其可以表示为如下形式：

在实际应用中，张量元关系式dijk=χ（2）/2通常代替χ（2）在公式中使用，这样对于二次谐波过程，基波和二次谐波二阶极化张量分别可以写作：

上式中，Eω和E2ω分别表示基波电场强度和二次谐波电场强度。

从而得到下列二次谐波的耦合波方程组：

式中，Δk为由于材料色散导致的相互作用光波的相速度失配量，可以表示为：

式中，kω、k2ω分别是基波和二次谐波在非线性媒介中传播的波矢量，而参数κ是二次谐波过程中的能量耦合系数，具体可用下式表示：

式中，nω、n2ω分别为基波和二次谐波的折射率；Aeff为光波与晶体非线性作用的有效面积；deff为有效非线性系数。

在边界条件Eω（0）=E0、E2ω（0）=0的限定下（E0是入射泵浦场的振幅），耦合波方程式（1.33）和式（1.34）有如下两种解析情况。

1.泵浦弱损耗情形

在小信号近似下，认为谐波转换效率较低，因此泵浦光在非线性互作用过程中损耗较小，即沿光波传播方向z上，Eω（z）=E0，在此边界条件限定下，联立耦合波方程式（1.33）和式（1.34），可以得到如下二次谐波电场及二次谐波生成功率解析解：

对应非线性转换效率为

式中，c表示真空光速。

2.泵浦高损耗情形

当基波转换效率足够高时，不能再认为基波功率损耗是常数。为了求出谐波功率解析解，需要给予耦合波方程式（1.33）和式（1.34）边界条件（Eω（0）=E0，E2ω（0）=0）限定，耦合波间非线性功率转换关系为

其中，。

在相同光学参量谐波互作用下，作者计算了基波高损耗和弱损耗条件下二次谐波转换效率随晶体长度的变化关系，如图1.2所示。从图1.2中可以看到，随着非线性晶体有效可利用长度的增加，在基波高损耗条件下，二次谐波非线性转换效率几乎可以达到100%。而实际情况下，非线性过程需要满足特定的偏振匹配，晶体真正可以利用的有效长度极其有限，只有满足合适的相位匹配条件，才可以尽量增大晶体的有效使用长度，准相位匹配晶体就是为了这一目的而设计的。

三波耦合方程不仅可以普遍地用于二次谐波的生成，也可以用作刻画其他任何三波混频过程，如和频、差频、光学参量放大等。在合理的近似下，都可以得到它们对应的解析解。