1.2.2 阻抗分析法

尽管特征方程所有的根在s平面的分布情况能有效反映系统稳定性，然而在实际应用过程中，当变换器数量较多时，系统特征方程阶次较高，求解全部特征根难度较大，可实现性低。另外，出于对保护商业机密的角度考虑，系统内部变换器的实际参数和结构往往部分或完全未知，导致基于传递函数的建模无法实现，进而难以建立和求解系统特征方程。因此人们希望使用一种间接判断系统特征根是否全部位于s左半平面的代替方法，以评估直流配用电系统的小信号稳定性。于是，阻抗分析法应运而生，该方法利用各变换器端口阻抗构建出一个与系统稳定性相关的传递函数表达式，可以从频率特性曲线角度对系统特征根的分布进行判断。

阻抗分析法最早可追溯到1976年，由美国的J.M.Undrill和T.E.Kostyniak提出，他们基于发电机和输电网络的阻抗模型研究了电力系统的次同步振荡问题［28］。同年，美国的Middlebrook教授将阻抗分析法应用于DC-DC变换器的输入滤波器设计［29］。阻抗分析法的基本思路是：基于系统内部所有设备或子系统的端口阻抗，根据麦克斯韦判据、柯西辐角原理、奈奎斯特稳定判据或广义奈奎斯特稳定判据等控制理论，构造可用于评价系统稳定性的阻抗表达式，以此评估直流配用电系统的小信号稳定性。阻抗分析法的优势在于：阻抗属于设备或子系统端口的一种外特性，不但可以基于状态空间模型进行小扰动建模得到，而且可以在结构和控制参数未知的条件下通过注入扫频信号测量获取；此外，基于设备阻抗模型与系统结构，还可以进行模块化系统建模，可拓展性较好。不过阻抗分析法也面临着一定的困难，比如阻抗测量装置不成熟、成本高，复杂直流配用电系统的稳定机理尚不明确、评估难度较大等。尽管如此，阻抗分析法清晰的物理意义使其在直流配用电系统小信号稳定性分析方面具有强大的吸引力和发展潜力，近几十年来得到了广泛深入的研究，并取得了一系列研究成果。

图1.3梳理了自1976年以来一些具有代表性的直流配用电系统阻抗稳定判据，这些稳定判据将会在本节的后续内容中详细回顾。总的来说，基于阻抗的直流配用电系统稳定判据可以从逻辑关系上分为充分非必要条件（禁区判据）与充分必要条件。目前，阻抗稳定判据的研究一方面越来越倾向于评价系统稳定的充分必要性、通用性和可扩展性，另一方面也在不断结合不同系统应用场景，提出更适用的稳定性分析方法。

1.阻抗比判据与Middlebrook判据

1976年，Middlebrook教授在研究图1.4所示输入滤波器与DC-DC变换器交互作用引起的不稳定现象时，提出了阻抗比判据与Middlebrook判据，用以分析系统稳定性并设计输入滤波器参数。图1.4中，v_dc为直流电源，L和R_L分别为滤波电感及其串联等效电阻，C为滤波电容，v_o为DC-DC变换器的输出电压，R为负载电阻，Z_S（s）为输入滤波器的等效阻抗，Z_L（s）为DC-DC变换器的输入阻抗。基于系统阻抗模型和控制理论，Middlebrook教授定义Z_S（s）和Z_L（s）之比为系统等效环路增益T_m（s），即T_m（s）=Z_S（s）/Z_L（s），并提出用于系统稳定性分析的阻抗比判据，即T_m（s）应满足奈奎斯特稳定判据。进一步地，在伯德图上采用阻抗比判据评估系统稳定性的方法为：①在任意频率处，均有|Z_L（s）|＞|Z_S（s）|，即Z_S（s）和Z_L（s）的幅频特性曲线不相交时，系统稳定；②当|Z_L（s）|和|Z_S（s）|在特定频率ω处发生交截时，若该频率处的相位差∠Z_S（jω）-∠Z_L（jω）＜180°，系统稳定，反之则不稳定。

为进一步简化该判据并提高其在实际系统设计中的可实现性，Middlebrook教授提出当|Z_S（s）|在全频率范围内均远小于|Z_L（s）|，即|Z_S（s）|≪|Z_L（s）|时，图1.4所示系统是稳定的。这一稳定性条件被后来的研究者们称为Middlebrook判据。相较于阻抗比判据，Middlebrook判据只涉及对Z_S（s）和Z_L（s）幅值的要求，而对相位没有要求，是系统稳定的充分非必要条件。

实际上，从小信号建模的角度，输入滤波器可以等效为一个开环运行的DC-DC变换器[30]，其作用是向后级变换器提供直流电压和功率。为此，可以将上述阻抗比判据和Middlebrook判据推广到如图1.5所示的级联直流系统中，其中，源变换器的作用是控制直流母线电压v_bus并为负载变换器提供功率。此时，系统等效环路增益为源变换器输出阻抗Z_S（s）与负载变换器输入阻抗Z_L（s）之比。需要说明的是，源变换器和负载变换器均可以独立稳定运行是阻抗比判据和Middlebrook判据的前提条件。

2.基于阻抗比的禁区判据

禁区指的是s平面内的一个特定区域，只要阻抗比的奈奎斯特曲线不进入该区域，就认为系统是稳定的。Middlebrook判据就是一种基于阻抗比的禁区判据，其禁区为s平面内以原点为圆心、半径为r₀（r₀＜1）的圆域以外的所有部分，如图1.6a所示。然而，Middlebrook判据的要求过于严格，保守性高，在实际系统中比较难以满足或代价较大[30]。为此，研究者们相继提出了多种禁区判据，以减小禁区范围和判据的保守性，主要包括：GMPM（Gain Margin and Phase Margin）判据[31]、OA（Opposing Argument）判据[32]、ESAC（Energy Source Analysis Consortium）[33]及其改进判据RESC（Root Exponential Stability Criterion）[34]、MPC（Maximum Peak Criterion）[35]和参考文献[36]提出的禁区判据等。这些禁区判据都是图1.5所示级联直流系统稳定的充分非必要条件，简介如下。

如图1.6b所示，GMPM判据定义的禁区可表示为

相较于Middlebrook判据，GMPM判据允许阻抗比T_m（s）的奈奎斯特曲线在某些频段位于单位圆外，从而大大缩小了禁区范围。GMPM判据在满足系统稳定性要求的同时，还保证了系统具有期望的幅值裕度G_m与相角裕度φ_m。在实际工程应用中，考虑到系统参数的变化，一般要求幅值裕度在6dB以上，相角裕度在60°左右［30］，因此G_m可取2，φ_m可取60°。

如图1.6c所示，OA判据定义的禁区可表示为

相较于GMPM判据，尽管OA判据的禁区范围略大，但其禁区条件更简洁直观，且便于推广到含多并联负载变换器的直流配用电系统。随后，研究者们提出的ESAC和RESC进一步减少了GMPM判据的禁区范围，分别如图1.6d和e所示。

实际上，幅值裕度G_m表示的是阻抗比T_m（s）沿着负实轴方向与不稳定状态的接近程度，相角裕度φ_m则描述了T_m（s）沿着单位圆与不稳定状态的接近程度。除了上述两个稳定裕度指标，T_m（s）与（-1，j0）点的接近程度也可以很好地衡量系统与不稳定状态的接近程度，即系统的相对稳定性［37］。MPC和参考文献［36］提出的禁区判据均是基于相对稳定性所提出的。MPC要求阻抗比T_m（s）满足奈奎斯特稳定判据且不经过图1.6f所示圆心为（-1，j0）、半径为1/M_S的圆域禁区，其中T_m（s）和M_S的关系以及M_S的取值分别由式（1.4）和式（1.5）给出，M_S也称为系统灵敏度函数的峰值因子［37］。显然，当阻抗比T_m（s）满足MPC时，系统必然满足稳定裕度G_m和φ_m的要求，也意味着具有一定的鲁棒稳定性。MPC将对系统稳定裕度的要求统一转化为s平面上的圆域边界，其形式更加简洁直观。

参考文献［36］提出的禁区如图1.6g所示，由三部分组成：一是从（-1/G_m，j0）点至负无穷大的射线，以确保系统稳定性与幅值裕度G_m；二是以原点为圆心、顶圆半径为1+1/M_S、底圆半径为1和圆心角为θ₁+θ₂的扇环区域，这里θ₁和θ₂为T_m（s）伯德图上两个截止频率对应的相位，基于相角裕度φ_m可以设置θ₁和θ₂的取值，请注意该禁区判据中峰值因子M_S的取值与MPC不同；三是以原点为圆心、顶圆半径为1、底圆半径为1-1/M_S、圆心角为2α且关于实轴对称的扇环区域，两个扇环区域可以限制系统的峰值因子M_S不超过sin-1α，从而保证系统具有一定的鲁棒性。尽管该禁区的形状较MPC定义的禁区复杂，但由于其边界仅由圆弧和直线段构成，因此很容易从s平面映射到伯德图上，结合源变换器的输出阻抗曲线和所需系统性能指标，可以确定负载变换器输入阻抗的稳定边界。此外，由于禁区范围缩小，该禁区判据的保守性也较MPC有所降低。

3.反阻抗比判据

2011年，美国伦斯勒理工学院孙建教授在研究图1.7所示并网逆变器系统的稳定性问题时，提出系统稳定的充分必要条件是：阻抗比Z_g（s）/Z_inv（s）满足奈奎斯特稳定判据［38］。其中，Z_g（s）为交流电网阻抗，Z_inv（s）为并网逆变器的输出阻抗。该判据为解决并网逆变器与弱电网相互作用问题奠定了理论基础，具有重要的理论意义与工程价值［30］。尽管这一判据起源于交流系统，但同样也适用于直流配用电系统［39］。

在图1.7所示系统中，并网逆变器的作用是将直流电逆变为交流电并送回交流电网，承担了源变换器的功能，交流电网则被视为“负载”。显然，孙建教授提出的阻抗比判据在形式上与Middlebrook教授定义的源-载阻抗比完全相反，因此将前者称为反阻抗比判据，以作区别。

4.统一阻抗比判据

上述阻抗比判据与反阻抗比判据都是针对两变换器级联系统提出的，且其形式也与源变换器类型（电压源型或电流源型）和系统功率流向有关。但实际直流配用电系统内部的设备数量远多于两个，各设备类型与控制模式多种多样。例如图1.8所示的光储独立供电系统中，光伏模块可采用MPPT控制或恒压控制，储能模块可工作于充电模式或放电模式。当光伏模块和储能模块同时向负载变换器供电时，系统存在两种不同类型的源变换器，因而无法简单地将整个系统等效为一个电压源系统或电流源系统，这使得系统级的稳定分析较为繁琐困难。

为解决上述问题，南京航空航天大学阮新波教授团队提出了一种统一阻抗比判据［30，40］。对于如图1.9a所示的单母线直流配用电系统，首先将控制或影响直流母线电压与电流的变换器分别定义为BVCC（Bus Voltage Controlled Converter）和BCCC（Bus Current Controlled Converter），得到系统统一形式，如图1.9b所示，图中假定系统包含m个BVCC和n个BCCC；然后基于DC-DC变换器的二端口小信号模型，推导得到整个系统的等效环路增益T_m（s）为式（1.6）；最后根据控制理论，若各变换器都可以独立稳定运行，那么当且仅当T_m（s）满足奈奎斯特稳定判据时，图1.9所示单母线直流配用电系统是稳定的。

式中，Z_BVCC，j（s）和Z_BCCC，k（s）分别为BVCC_j和BCCC_k在直流母线侧的端口阻抗。

由于统一阻抗比判据中定义的等效环路增益T_m（s）是所有BVCC的并联等效阻抗与所有BCCC的并联等效阻抗之比，因此阻抗比判据与反阻抗比判据都是统一阻抗比判据的特例。

5.和式判据

除了阻抗比值形式的稳定判据外，研究者们还提出了其他形式的阻抗判据，其中和式判据就是比较有代表性的一类。

2014年，西安交通大学刘进军教授团队提出适用于级联电压源变换器系统的阻抗和判据［41］：当两个电压源变换器在直流母线侧的端口阻抗之和的奈奎斯特曲线不包围原点时，系统稳定。随后，伊利诺伊理工大学钟庆昌教授与浙江大学张欣教授将阻抗和判据的适用范围进一步推广到任意类型的交流和直流级联变换器系统，并指出阻抗和判据相较于阻抗比判据的优势是无需提前区分变换器类型［42］。

另一种和式判据为导纳和判据。由于导纳是阻抗的倒数且在电路中可以相互转换，因此也可以从导纳角度分析直流配用电系统的小信号稳定性。2013年，刘进军教授团队提出了导纳和判据［43］，即级联直流系统的稳定性取决于两个级联变换器的导纳和是否有右半平面零点。2019年，东南大学曹武副研究员针对多并联并网逆变器系统的谐波稳定性提出了全局导纳判据［44］，即系统稳定性取决于全局导纳是否包含右半平面零点，其中全局导纳定义为所有逆变器导纳、无源设备导纳与电网导纳之和。全局导纳判据可以看作是导纳和判据的进一步推广，同样适用于单母线直流配用电系统的稳定性分析［45］，且具备无需对变换器或设备进行分类的优势［20］。

6.无源判据与母线阻抗判据

根据一端口网络的无源理论，美国南卡罗来纳大学的Riccobono和Santi教授于2012年提出了基于母线阻抗Z_bus（s）的无源判据［46］，并将其应用于如图1.9a所示的单母线直流配用电系统［47］。无源判据要求：①Z_bus（s）没有右半平面极点；②对任意的ω均满足∠Z_bus（jω）∈［-90°，90°］或Re［Z_bus（jω）］≥0。母线阻抗Z_bus（s）的定义如图1.10a所示，其中两个子系统分别由若干个变换器并联组成，i_inj可以认为是外部设备向直流母线注入的电流，因此Z_bus（s）=v_bus（s）/i_inj（s）=Z₁（s）//Z₂（s）也是所有变换器在直流母线侧端口阻抗的并联组合。根据无源理论，一个无源的系统必然也是稳定的，但反之则不成立，因此无源判据是系统稳定的充分非必要条件。无源判据也可以视为一种特殊的禁区判据，其面向母线阻抗Z_bus（s）的禁区为s平面的整个左半平面，如图1.10b所示［12］。

实际上，当单母线直流配用电系统内部各变换器或设备可以独立稳定运行时，系统的小信号稳定性可以仅根据Z_bus（s）是否有右半平面极点进行评估，此即为母线阻抗判据［20］。母线阻抗判据是无源判据的第一个条件，是系统稳定的充分必要条件，也无需区分变换器或设备类型。在母线直流配用电系统中，由于母线阻抗和所有变换器的导纳和互为倒数，因此母线阻抗判据与导纳和判据在稳定性原理上完全等价。此外，参考文献［39］指出阻抗比判据、反阻抗比判据、阻抗和判据、导纳和判据与母线阻抗判据均可以用于评估任何互联变换器系统的小信号稳定性，这是由于它们本质上都是在分析互联变换器系统的特征方程是否存在右半平面的根。

随着直流变换技术的快速发展，以及直流负荷、储能设备与新能源的分布式接入，直流配用电系统的网络架构越发复杂，且逐渐呈现出多电力电子变换器、多电压等级、多直流母线等显著特点［13］，稳定性问题更加突出。而上述阻抗稳定判据大多是基于由两个变换器组成的简单级联直流系统或具有单一母线结构的并联直流配用电系统所提出的，因此可能无法直接用于具有复杂网架结构的直流配用电系统。近年来，国内外学者开始注意到复杂直流配用电系统的稳定性问题，并开展了一些相关研究工作。

7.多电压等级直流配用电系统稳定性分析方法

多电压等级直流配用电系统内部大量电气设备的控制环路强烈交互、端口阻抗紧密耦合，如图1.2a～c所示，同时换流器、直流变压器等互联装置进一步加深了不同电压等级设备间的耦合联动作用，导致多电压等级直流系统的阻抗方程表征复杂、稳定机理分析困难，近年来受到了广泛的关注和研究。

2020年，东南大学陈武教授团队基于DC-DC变换器的二端口网络模型构建了中低压直流配用电系统的小信号模型，在此基础上推导了系统所有输入变量到输出变量间的闭环传递函数，以及直流变压器不同运行方式下系统的等效环路增益表达式，结合奈奎斯特稳定判据，提出了基于等效环路增益的中低压直流配用电系统稳定判据［48-49］。该判据是参考文献［40］所提单电压等级直流配用电系统等效环路增益稳定判据的进一步拓展，但与之不同的是：中低压直流配用电系统的等效环路增益并非呈现阻抗比的形式，且其数学表达式不但与系统内部所有变换器的端口阻抗或导纳有关，还与直流变压器不同端口间的转移传递函数（例如两个端口电压之间的传递函数）有关。为进一步分析子系统间的阻抗交互作用，陈武教授团队提出并证明了若从不同直流母线处将整个系统划分为两个子系统，那么当任一条直流母线对应的子系统端口等效阻抗之比满足奈奎斯特稳定判据时，中低压直流配用电系统稳定，反之则不稳定［50，51］。此外，还提出了一种基于母线阻抗的稳定判据：当任一条直流母线对应的母线阻抗没有右半平面极点时，系统稳定，反之则不稳定［21］。由于上述研究构建的系统模型是基于所有变换器的二端口小信号模型得到的，其建模方法和稳定判据难以进一步推广到含更多电压等级直流母线的配用电系统中，为此陈武教授团队通过保留直流变压器的二端口小信号模型而将其余变换器等效简化为戴维南模型或诺顿模型，构建了含n个电压等级直流母线的配用电系统小信号等效模型，并提出了相应的稳定性分析方法［13，52］。

为评估含多条直流母线配用电系统的小信号稳定性，湖南大学帅智康教授团队提出了一种逐级稳定性分析方法［53-54］：首先保证系统内部各变换器自身的稳定性，然后从最后一级开始基于阻抗判据评估本级直流母线的稳定性，在本级直流母线自身稳定的前提下，将后级子系统往前一级进行折算，再进行稳定性分析，最终评估所有直流母线的稳定性。然而，该方法可能会导致系统稳定性的评估结论较为保守，这是由于逐级划分后的子系统稳定性并非一定是整个系统稳定性的充分条件之一［13，21］。西南交通大学周国华教授团队基于广义伯德图判据和子系统阻抗比判据，提出了一种多电压等级直流配用电系统小信号稳定性评估方法，该方法考虑了子系统阻抗比表达式中含有右半平面极点的情况［55-56］。此外，参考文献［57］将无源判据拓展到了含n条母线的直流配用电系统的稳定性分析中：①任一条直流母线端口等效阻抗Z_bus，α（s）均没有右半平面极点，α=1，2，…，n；②对任意的ω均满足Re［Z_bus，α（jω）］≥0。

8.含复杂线路阻抗网络的直流配用电系统稳定性分析方法

不同于仅采用并联或级联方式连接的直流配用电系统，在环网或具有多母线分段等复杂网络架构的直流配用电系统中，线路阻抗和系统架构不可忽略，这类系统往往不存在一个明显的源-荷划分点，也无法沿用导纳和、阻抗和的概念与判据进行稳定性分析。

为解决复杂网络直流系统的小信号稳定性问题，浙江大学韦巍教授团队针对含有n个节点的直流微电网，推导了所有功率模块的戴维南或诺顿等效模型中的受控源到节点注入电流向量间的传递函数矩阵，提出了一种基于逆矩阵T_m（s）={Y_c（s）+Z_u（s）［Y_L（s）+Y_net（s）］}-1的稳定判据［58-59］：当T_m（s）的极点全部位于左半平面时系统稳定，反之则不稳定。其中Y_c（s）为采用电流控制的电源模块和恒功率负载的导纳矩阵，Z_u（s）为控制直流母线电压的电源模块的阻抗矩阵，Y_L（s）为电阻负载的导纳矩阵，Y_net（s）是系统网络架构的节点导纳矩阵。然而，该方法需要首先计算传递函数的逆矩阵，然后再评估逆矩阵中每一个传递函数的极点，计算难度大且较为繁琐［20］。事实上，根据参考文献［20］的结论，T_m（s）的右半平面极点即为行列式det{Y_c（s）+Z_u（s）［Y_L（s）+Y_net（s）］}的右半平面零点，而行列式相较于逆矩阵计算简单；同时，在各变换器都可以独立稳定运行的前提下，该行列式自身不含右半平面极点，因此也可以根据其频率特性曲线包围原点的等效圈数是否为0来评估系统稳定性。此外，参考文献［20］还提出了一种母线节点阻抗判据：当系统任一节点对应的母线节点阻抗没有右半平面极点时，系统稳定，反之则不稳定。然而，母线节点阻抗判据仍需通过绘制母线节点阻抗的零极点图进行系统级稳定性分析［60］。

华南理工大学钟庆教授团队提出通过分析系统节点阻抗矩阵中各传递函数的频率特性，可以掌握直流配电网的谐振特性［61］。参考文献［62］和参考文献［63］指出，单电压等级多母线分段结构的直流系统特征方程可以从系统回路阻抗矩阵的行列式中获得，并用以分析系统的低频稳定性。类似地，参考文献［64］则是采用节点导纳矩阵的行列式分析系统的低频稳定性。事实上，根据对偶原理，节点导纳矩阵与回路阻抗矩阵的零点均等价于系统特征值［65］，换句话说，系统稳定性与振荡模式分析可以基于节点导纳矩阵，也可以基于回路阻抗矩阵。

9.基于阻抗的双极性直流系统稳定性分析方法

直流系统的接线形式主要有单极性与双极性两类，其中单极性系统的直流母线只有正、负两极，而双极性系统则采用三线制，即正、负极母线和中性线［66］。相较于单极性直流系统一条母线只能提供一个电压等级V_bus的限制，双极性直流系统可以同时提供V_bus和2V_bus两种电压等级，不但可以适应更多电压等级的设备接入，而且提高了系统供电的可靠性及灵活性。

现有的直流系统稳定性分析方法大都是基于单极性系统所提出的［67］。由于双极性直流系统采用了电压平衡器与三线制母线结构，其稳定性分析方法与单极性系统有着显著差异且更为复杂。目前，国内外针对双极性直流系统的频域稳定性研究较少，较为有代表性是西南交通大学周国华教授团队基于阻抗和判据，提出了不同母线端口的稳定条件，研究了不同母线端口稳定性的相互影响，并分析了不平衡负载接入对称母线可能引起的不稳定现象［56-68］。此外，参考文献［69］采用Middlebrook判据分析了基于交错并联型电压平衡器的双极性直流系统的小信号稳定性。