1.10 贝叶斯法则

一个著名的结果归功于牧师托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）.

定理1.6 贝叶斯法则（Bayes rule）.若P[A]＞0且P[B]＞0，则

证明 用（两次）条件概率的公式，得

P[A∩B]=P[A|B]P[B]=P[B|A]P[A]

求解后，得

在分割{A, Ac}下，利用全概率公式计算P[B]，命题得证.

■

贝叶斯法则在许多情景下都非常有用.

例如，假设你路过一家体育酒吧，看到一群人正观看一场当地的热门球队的体育比赛.你突然听到酒吧里传来一阵兴奋的吼叫声，请问当地的球队刚刚得分了吗？可利用贝叶斯法则研究此问题.令A={球队得分}，B={人群发出吼叫声}.设P[A]=1/10，P[B|A]=1，P[B|Ac]=1/10（有其他的事件可能导致人群吼叫）.那么

略高于1/2.在上述假设下，人群吼叫虽然不能确定球队得分，但仍有参考价值.[5]

再比如，假设有两种类型的工人：勤奋的工人（H）和懒惰的工人（L）.从以往经验可知，P[H]=1/4，P[L]=3/4.假设可以用一个筛选测试来判断申请人是否勤奋.令T表示事件申请人在测试中获得高分.设P[T|H]=3/4，P[T|L]=1/4，即该测试能提供一些信息，但并不完美.我们想要计算给定测试获得高分的条件下，申请者勤奋的条件概率P[H|T].由贝叶斯公式可得，

申请者勤奋的概率只有50%！这说明测试没有用吗？考虑如下问题：给定测试得分低（P）的条件下，申请者懒惰的概率是多少？计算可得

只有10%.因此，这个测试表明如果得分高，不能确定申请者的工作习惯.但是如果测试得分低，则申请者不太可能勤奋.

再考虑现实世界中的受教育程度和工资的例子.我们曾计算过，给定某人拥有大学学位（C）的条件下，获得高工资（H）的概率P[H|C]=0.53.利用贝叶斯公式计算，给定某人高工资的条件下，拥有大学学位的概率

给定某人低工资（L）的条件下，拥有大学学位的概率

因此，给定某人的工资信息（工资高于或低于25美元），可获得该人是否拥有大学学位的概率信息.