2.10 密度函数

连续随机变量没有概率质量函数.类似的概念是分布函数的导数，称为密度.

定义2.9 设F（x）是可微的，则其密度（density）为.

密度函数也称为概率密度函数（probability density function，PDF）.

通常使用小写字母表示密度函数，常用的选择是f.与分布函数类似，fX（x）表示随机变量X的密度函数，其中下标表示这是X的密度函数.简写为“X～f”，表示“随机变量X的密度函数为f”.

定理2.3 概率密度函数的性质.函数f（x）是密度函数当且仅当

1.对所有的x，f（x）≥0.

2..

密度是可积且全域积分为1的非负函数.根据微积分基本定理，有

这表明X落在区间[a, b]中的概率是密度函数在[a, b]上的积分，即概率等于密度函数下的面积.

例10 均匀分布.F（x）=x，0≤x≤1，其密度为

其中0≤x≤1，其他为0.该函数是非负的且满足

即满足密度函数的性质.

例11 指数分布.F（x）=1-exp（-x），x≥0.在x≥0上，其密度为

其他为0.该函数是非负的且满足

即满足密度函数的性质.密度函数可用来计算概率.例如，

例12 时薪.图2-7展示了时薪的密度函数.

解释密度函数的方法如下.密度f（x）相对较高的区域是X发生的可能性相对较大的区域.密度f（x）相对较低的区域是X发生的可能性相对较小的区域.密度在尾部下降到零，因为密度函数是可积的.密度函数下的面积是概率.例如，在图2-7中，20＜X＜30阴影区域的面积为0.24，表示时薪在20美元到30美元的概率是0.24.密度函数在15美元左右有一个单峰，是该分布的众数（mode）.

时薪的密度是不对称的.左尾比右尾更陡，右尾比左尾更平缓.这种非对称性称为偏度（skewness）.收入和财富分布常常是有偏的，即相对于一般人群，有人以很小，但可能发生的概率获得非常高的薪水.

连续随机变量的支撑为使密度函数为正的值的集合.

定义2.10 连续随机变量的支撑X是包含{x：f（x）＞0}的最小闭集.